Question

10．已知圓E經(jīng)過點（2，3），（0，1），（$\sqrt{3}$，4），圓F的圓心為（0，-3），且圓C截直線m：x+3y+6=0所得弦長為$\frac{3}{5}$$\sqrt{890}$．
（1）求圓E與圓F的標準方程；
（2）已知一動圓C與圓E、圓F都相切，求動圓圓心W的軌跡方程；
（3）已知過點A（-1，0）的動直線l與圓E相交于P、Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m相交于點N，試探究$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請求出其值；若有關(guān)，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓E的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，（r＞0），代入點（2，3），（0，1），（$\sqrt{3}$，4），解方程組可得a，b，r，進而得到圓E的方程；可設(shè)圓F的方程為x²+（y-3）²=R²（R＞0），運用點到直線的距離公式和弦長公式，可得半徑R=9，進而得到圓F的方程；
（2）設(shè)動圓W的圓心為（x，y），半徑為t（t＞0），由題意可得圓W與圓E外切，可得|WE|=t+2，圓W與圓F相內(nèi)切，可得|WF|=9-t，再由橢圓的定義，可得W的軌跡為以E，F(xiàn)為焦點的橢圓，求得a，b，c，可得軌跡方程；
（3）可設(shè)直線l：x=my-1，聯(lián)立直線m：x+3y+6=0，可得N的坐標；聯(lián)立圓E的方程，消去x，可得y的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，可得M的縱坐標，代入直線l方程可得M的橫坐標，再由向量數(shù)量積的坐標表示，計算可得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$是定值-5，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓E的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，（r＞0），
由圓E經(jīng)過點（2，3），（0，1），（$\sqrt{3}$，4），可得
$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^{2}+（3-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（\sqrt{3}-a）^{2}+（4-b）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=3}\\{r=2}\end{array}\right.$，
即圓E的標準方程為x²+（y-3）²=4；
圓F的圓心為（0，-3），可設(shè)圓F的方程為x²+（y-3）²=R²（R＞0），
圓心F到直線x+3y+6=0的距離為d=$\frac{|-9+6|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$，
則$\frac{3\sqrt{890}}{5}$=2$\sqrt{{R}^{2}-frpllzf^{2}}$=2$\sqrt{{R}^{2}-\frac{9}{10}}$，
解得R=9，
即有圓F的標準方程為x²+（y-3）²=81；
（2）設(shè)動圓W的圓心為（x，y），半徑為t（t＞0），
由一動圓C與圓E、圓F都相切，可知圓W與圓E外切，
可得|WE|=t+2，
圓W與圓F相內(nèi)切，可得|WF|=9-t，
則|WE|+|WF|=t+2+9-t=11＞|EF|=6，
由橢圓的定義可得W的軌跡為以E，F(xiàn)為焦點的橢圓，
且2a=11，2c=6，即a=$\frac{11}{2}$，c=3，
b²=a²-c²=$\frac{121}{4}$-9=$\frac{85}{4}$，
則動圓圓心W的軌跡方程為$\frac{4{y}^{2}}{121}$+$\frac{4{x}^{2}}{85}$=1；
（3）可設(shè)直線l：x=my-1，聯(lián)立直線m：x+3y+6=0，
可得交點N（$\frac{-6m-3}{m+3}$，$\frac{-5}{m+3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+（y-3）^{2}=4}\end{array}\right.$可得（1+m²）y²-（2m+6）y+6=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得y₁+y₂=$\frac{2m+6}{1+{m}^{2}}$，
由M為PQ的中點，可得y_M=$\frac{m+3}{1+{m}^{2}}$，
x_M=my_M-1=$\frac{3m-1}{1+{m}^{2}}$，
即M（$\frac{3m-1}{1+{m}^{2}}$，$\frac{m+3}{1+{m}^{2}}$），
又A（-1，0），可得$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{3m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，$\frac{m+3}{1+{m}^{2}}$），
$\overrightarrow{AN}$=（$\frac{-5m}{m+3}$，$\frac{-5}{m+3}$），
即有$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{3m+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$•$\frac{-5m}{m+3}$+$\frac{m+3}{1+{m}^{2}}$•$\frac{-5}{m+3}$
=$\frac{-5（m+3）（1+{m}^{2}）}{（m+3）（1+{m}^{2}）}$=-5．
則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$為定值-5，與直線l的傾斜角無關(guān)．

點評 本題考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查軌跡方程的求法，注意運用兩圓的相切的條件和橢圓的定義，考查直線和圓的位置關(guān)系和向量數(shù)量積的坐標表示，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．