Question

f（x）=lg

a-x

10+x

，定義域[-9，9]，在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，a∈R，
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）單調(diào)性并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)：f（0）=0，列出方程求出a的值．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷，先利用作差法證明對(duì)應(yīng)真數(shù)的大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得f（x₁）與f（x₂）的大小，即可得在定義域上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=lg

a-x

10+x

在定義域[-9，9]為奇函數(shù)，
所以f（0）=lg

a

10

=0，解得a=10，
則a的值是10；
（2）由（1）得，f(x)=lg

10-x

10+x

，定義域?yàn)閇-9，9]，
函數(shù)f（x）在定義域上單調(diào)遞減，證明如下：
任取x₁，x₂∈[-9，9]，且x₁＜x₂，
則

10-x1

10+x1

-

10-x2

10+x2

=

(10-x1)(10+x2)-(10-x2)(10+x1)

(10+x1)(10+x2)

=

20(x2-x1)

(10+x1)(10+x2)

因?yàn)?9≤x₁＜x₂≤9，所以x₂-x₁＞0，
則

20(x2-x1)

(10+x1)(10+x2)

＞0，所以

10-x1

10+x1

＞

10-x2

10+x2

，
因?yàn)楹瘮?shù)y=lgx在定義域上遞增，所以lg

10-x1

10+x1

＞lg

10-x2

10+x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在定義域[-9，9]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，化簡(jiǎn)時(shí)需要注意應(yīng)先比較真數(shù)的大小，才能得到f（x₁）與f（x₂）的大小，計(jì)算量大，屬中檔題．