Question

3．設函數(shù)f（x）=log_a（a^x+k）（a＞0，a≠1）的定義域為D，若存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域為[$\frac{1}{2}$m，$\frac{1}{2}$n]，則k的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}}$）
• C． （0，$\frac{1}{4}}$]
• D． （0，$\frac{1}{4}}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）在其定義域內為增函數(shù)，則由題意方程f（x）=$\frac{1}{2}x$必有兩個不同實數(shù)根，轉化為求方程t²-t+k=0有兩個不同的正數(shù)根，k的范圍可求．

解答 解：因為函數(shù)f（x）=log_a（a^x+k），（a＞0，a≠1）在其定義域內為增函數(shù)，則由題意
方程f（x）=$\frac{1}{2}x$必有兩個不同實數(shù)根，
∵log_a（a^x+k）=$\frac{1}{2}$x，
∴a^x-${a}^{\frac{x}{2}}$+k=0，
令${a}^{\frac{x}{2}}$=t（t＞0）
∴方程t²-t+k=0有兩個不同的正數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{1-4k＞0}\end{array}\right.$，∴$0＜k＜\frac{1}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的值域，難點在于構造函數(shù)，轉化為兩函數(shù)有不同二交點，利用方程解決，屬于難題．