14．設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-9x在點(diǎn)x=1處有極值．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的最值．

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值得關(guān)系即可求出a的值，
（2）由函數(shù)f（x）在（1，2]單調(diào)遞增，在[-2，1）上單調(diào)遞減，分別求出端點(diǎn)值和極小值，即可求出最值．

解答 解：（1）∵f（x）=x3+ax2-9x，
∴f′（x）=3x2+2ax-9，
∵函數(shù)f（x）=x3+ax2-9x在點(diǎn)x=1處有極值，
∴1是3x2+2ax-9=0的根，
∴3+2a-9=0，
解得a=3；
（2）由于f′（x）=3x2+6x-9，x∈[-2，2]，
令f′（x）=3x2+6x-9=0，解得x=1或x=-3（舍去），
當(dāng)f′（x）＞0，即1＜x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0，即-2≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）=x3+3x2-9x在點(diǎn)x=1處有極值，
∴f（x）min=f（1）=1+3-9=-5，
∵f（-2）=-8+12+18=22，f（2）=8+12-18=2，
∴f（x）max=22．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值最值的關(guān)系，掌握求最值的步驟是關(guān)鍵，屬于中檔題．

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