Question

17．從1，2，3，…，9，10這10個(gè)整數(shù)中任意取3個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的系數(shù)，則滿足$\frac{f（1）}{3}$∈N的方法有（　�。┓N．

• A． 264
• B． 252
• C． 240
• D． 196

Answer 1

分析 由題意可得 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，對(duì)a，b，c分情況，分別求得滿足條件的（a，b，c）的個(gè)數(shù)，相加即得所求．

解答 解：∵f（1）=a+b=c，
∴若$\frac{f（1）}{3}$∈N，
即 f（1）=a+b+c是3的倍數(shù)，
對(duì)1，2，3，…，9，10這10個(gè)整數(shù)分組，
①3，6，9；②1，4，7，10；③2，5，8
若a，b，c里面三個(gè)都是3的倍數(shù)，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有${A}_{3}^{3}$=6個(gè)．
若a，b，c里面三個(gè)被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有${C}_{4}^{3}{A}_{3}^{3}$=24個(gè)．
若a，b，c里面三個(gè)被3除余數(shù)為2，則a+b+c是3的倍數(shù)，此時(shí)（a，b，c）共有${A}_{3}^{3}$=6個(gè)．
若a，b，c里面有一個(gè)被3整除，有一個(gè)被3除余數(shù)為2，有一個(gè)被3除余數(shù)為1，則a+b+c是3的倍數(shù)，
此時(shí)（a，b，c）共有${C}_{3}^{1}{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}$${A}_{3}^{3}$=216個(gè)．
故滿足$\frac{f（1）}{3}$∈Z的（a，b，c）一共有252個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，排列組合的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．