Question

6．f（x）=ax³-3x+2，對(duì)于x∈[-1，1]，總有f（x）≥0成立，則a的取值范圍是[1，5]．

Answer 1

分析 當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+2≥0可化為：a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出a≥1；x∈[-1，0）時(shí)，求出a≤5，由此求出a的范圍．

解答 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≥$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
則g′（x）=$\frac{6（1-x）}{{x}^{4}}$＞0，
所以g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
因此g（x）_max=g（1）=1，從而a≥1；
當(dāng)x＜0即x∈[-1，0）時(shí)，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：
a≤$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，設(shè)g（x）=$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
則g′（x）=$\frac{6（1-x）}{{x}^{4}}$＞0，
g（x）在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=5，從而a≤5，
綜上a∈[1，5]．
故答案為：[1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．