Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ACC₁A₁與側面CBB₁C₁都是菱形，∠ACC₁=∠CC₁B₁=60°，AC=2．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥CC₁；
（Ⅱ）若AB₁=

6

，求二面角C-AB₁-A₁．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明：連AC₁，CB₁，證明CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，得到CC₁⊥平面OAB₁，即可證明CC₁⊥AB₁．
（Ⅱ）以OB₁，OC₁，OA為正方向建立空間直角坐標系，求出C，B₁，A，求出平面CAB₁的法向量

m

，平面A₁AB₁的法向量

n

，通過向量的數量積求解二面角C-AB₁-A₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：連AC₁，CB₁，則
△ACC₁和△B₁CC₁皆為正三角形．
取CC₁中點O，連OA，OB₁，則
CC₁⊥OA，CC₁⊥OB₁，則
CC₁⊥平面OAB₁，則CC₁⊥AB₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，OA=OB₁=

3

，又AB₁=

6

，
所以OA⊥OB₁．如圖所示，分別以OB₁，OC₁，OA為正方向建立空間直角坐標系，
則C（0，-1，0），B₁（

3

，0，0），A（0，0，

3

），…（6分）
設平面CAB₁的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），因為

AB1

=（

3

，0，-

3

），

AC

=（0，-1，-

3

），
所以

3 x1+0×y1- 3 z1=0 0×x1-1×y1- 3 z1=0

取

m

=（1，-

3

，1）．…（8分）
設平面A₁AB₁的法向量為

n

=（x₂，y₂，z₂），因為

AB1

=（

3

，0，-

3

），

AA1

=（0，2，0），
所以

3 x2+0×y2- 3 z2=0 0×x2-1×y2-0×z2=0

取

n

=（1，0，1）．…（10分）
則cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

5 × 2

=

10

5

，因為二面角C-AB₁-A₁為鈍角，
所以二面角C-AB₁-A₁的余弦值為-

10

5

．…（12分）

點評：本題考查空間直線和平面的位置關系，熟記線線、線面和面面的位置關系，二面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．