Question

如圖，ABCD是正方形，O是該正方形的中心，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）BD⊥平面PAC；
（3）若PA=AB=2，求二面角E-BD-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連接OE，由已知得OE∥AP，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由線面垂直得PO⊥BD，由正方形性質(zhì)得BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（3）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDE的法向量和平面BDC的法向量，由此能求出二面角E-BD-C的大小．

解答： （1）證明：如圖所示，連接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中點(diǎn)，∴CE=EP，
∴OE∥AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（3）解：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵PA=AB=2，∴B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0），
C（-

2

，0，0），P（0，0，

2

），E（-

2

2

，0，

2

2

），

BD

=（0，2

2

，0），

BE

=（-

2

2

，-

2

，

2

2

），
設(shè)平面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BD =2 2 x=0 n • BE =- 2 2 x- 2 y+ 2 2 z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，2），
又平面BDC的法向量

m

=（0，0，1），
設(shè)二面角E-BD-C的平面角為θ，
cosθ=|

n • m

| n |•| m |

|=

1

5

=

5

5

．
∴二面角E-BD-C的大小為arccos

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線面直行、線面垂直、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．