Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù) M＞0，都有|f（x）|≤M 成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2．
（1）當a=-1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0]上的值域，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是否為有界函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）把a=-1代入函數(shù)解析式，利用配方法求其值域，根據(jù)函數(shù)|f（x）|在（-∞，0]上無最大值說明函數(shù)f（x）在（-∞，0]上不是有界函數(shù)；
（2）把函數(shù)f（x）在x∈[1，4]上是以3為上界的有界函數(shù)轉(zhuǎn)化為-3≤x²+2ax+2≤3，分離參數(shù)a后分別利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得最值后得答案．

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∵x∈（-∞，0]，函數(shù)為定義域內(nèi)的減函數(shù)，f（x）_min=f（0）=2．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上的值域為：[2，+∞），
∵|f（x）|沒有最大值，∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上不是有界函數(shù)；
（2）當x∈[1，4]時，f（x）是以3為上界的有界函數(shù)，
即|f（x）|=|x²+2ax+2|在[1，4]上的最大值為3．
也就是-3≤x²+2ax+2≤3，即-(

x

2

+

5

2x

)≤a≤-

x

2

+

1

2x

對任意x∈[1，4]恒成立．
則[-(

x

2

+

5

2x

)]max≤a≤(-

x

2

+

1

2x

)min．
當x∈[1，4]時，-(

x

2

+

5

2x

)≤-2

x 2 • 5 2x

=-

5

（當且僅當x=

5

時等號成立）；
當x∈[1，4]時，-

x

2

+

1

2x

為減函數(shù)，最小值為-

4

2

+

1

8

=-

15

8

．
∴實數(shù)a的取值范圍是[-

5

，-

15

8

]．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分離變量法，訓練了利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．