Question

記b_n=3ⁿ，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，對(duì)于任意n屬于N^*，（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式可得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，求出其前n項(xiàng)和后代入（T_n+

3

2

）k≥3n-6，分離k后求出函數(shù)f（n）=

2n-4

3n

的最大值得答案．

解答： 解：由b_n=3ⁿ，可得bn+1=3n+1，
∴

bn+1

bn

=

3n+1

3n

=3．
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
則Tn=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)．
∴（T_n+

3

2

）k≥3n-6恒成立等價(jià)于

3n+1

2

k≥3n-6對(duì)于任意n屬于N^*恒成立，
即k≥

2n-4

3n

于任意n屬于N^*恒成立，
當(dāng)n=1時(shí)，

2n-4

3n

=-

2

3

；
當(dāng)n=2時(shí)，

2n-4

3n

=0；
當(dāng)n=3時(shí)，

2n-4

3n

=

2

27

；
當(dāng)n≥3時(shí)，函數(shù)f（n）=

2n-4

3n

單調(diào)遞減，
∴k≥

2

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．