Question

設(shè)函數(shù)y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的圖象在x軸上截得的拋物線長為d_n，記數(shù)列{d_n}的前n項和為S_n，若存在正整數(shù)n，使得log₂（S_n+1） m-n2≥18成立，則實數(shù)m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：得出d_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，求出S_n，化簡得出n（m-n²）≥18，構(gòu)造函數(shù)g（n）=n²+

18

n

，運用導(dǎo)數(shù)判斷即可得出m的最小值．

解答： 解：∵函數(shù)y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的圖象在x軸上截得的拋物線長為d_n=x₂-x₁，
得出d_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∵x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0（n∈N^*），x₁=2^n-1，x₂=2ⁿ，∴

dn+1

dn

=

2n

2n-1

=2，
∴{d_n}為等比數(shù)列，d₁=1，S_n=2ⁿ-1，
∴S_n+1=2ⁿ，
∵log₂（S_n+1） m-n2≥18
∴n（m-n²）≥18存在正整數(shù)n，不等式成立．m≥n²+

18

n

g′（n）=2n-

18

n2

=0，n=

3	9

g′（n）＞0，n＞

3	9

，
g′（n）＜0，n＜

3	9

，
g（n）=n²+

18

n

在（0，

3	9

）遞減，在（

3	9

，+∞）
當(dāng)n=1時，m≥19，
當(dāng)n=2時，m≥13，
當(dāng)n=3時，m≥15，
當(dāng)n=4時，m≥16+

9

2

可知：實數(shù)m的最小值為13．

點評：本題中考察了數(shù)列，函數(shù)，不等式，導(dǎo)數(shù)的運用相結(jié)合的題目，難度較大．