【題目】(本小題滿分12分)已知橢圓()的半焦距為,原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點(diǎn),求橢圓的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】
試題(Ⅰ)先寫過點(diǎn),的直線方程,再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離,進(jìn)而可得橢圓的離心率;(Ⅱ)先由(Ⅰ)知橢圓的方程,設(shè)的方程,聯(lián)立,消去,可得和的值,進(jìn)而可得,再利用可得的值,進(jìn)而可得橢圓的方程.
試題解析:(Ⅰ)過點(diǎn),的直線方程為,
則原點(diǎn)到直線的距離,
由,得,解得離心率.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知,橢圓的方程為. (1)
依題意,圓心是線段的中點(diǎn),且.
易知,不與軸垂直,設(shè)其直線方程為,代入(1)得
設(shè)則
由,得解得.
從而.
于是.
由,得,解得.
故橢圓的方程為.
解法二:由(Ⅰ)知,橢圓的方程為. (2)
依題意,點(diǎn),關(guān)于圓心對稱,且.
設(shè)則,,
兩式相減并結(jié)合得.
易知,不與軸垂直,則,所以的斜率
因此直線方程為,代入(2)得
所以,.
于是.
由,得,解得.
故橢圓的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(0<φ<π)
(1)當(dāng)φ時,在給定的坐標(biāo)系內(nèi),用“五點(diǎn)法”做出函數(shù)f(x)在一個周期內(nèi)的圖象;
(2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求φ的值;
(3)在(2)的條件下,求函數(shù)在[﹣π,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在五面體中,四邊形為菱形,且,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)若平面平面,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在測試中,客觀題難度的計(jì)算公式為,其中為第題的難度, 為答對該題的人數(shù), 為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進(jìn)行一次測試,共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解,預(yù)估了每道題的難度,如下表所示:
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考前預(yù)估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
測試后,從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生,將他們編號后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況,如下表所示(“√”表示答對,“×”表示答錯):
學(xué)生編號 題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
(Ⅰ)根據(jù)題中數(shù)據(jù),將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測難度填入下表,并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測答對人數(shù);
題號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實(shí)測答對人數(shù) | |||||
實(shí)測難度 |
(Ⅱ)從編號為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人,求恰好有1人答對第5題的概率;
(Ⅲ)定義統(tǒng)計(jì)量,其中為第題的實(shí)測難度, 為第題的預(yù)估難度.規(guī)定:若,則稱該次測試的難度預(yù)估合理,否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的函數(shù)滿足,且為偶函數(shù),若在內(nèi)單調(diào)遞減,則下面結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為:弧田面積=(弦矢+矢2).弧田(如圖),由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.
按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長等于9米的弧田.
(1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積;
(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?(結(jié)果保留兩位小數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一新生共有320人,其中男生192人,女生128人.為了解高一新生對數(shù)學(xué)選修課程的看法,采用分層抽樣的方法從高一新生中抽取5人進(jìn)行訪談.
(Ⅰ)這5人中男生、女生各多少名?
(Ⅱ)從這5人中隨即抽取2人完成訪談問卷,求2人中恰有1名女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2(1+sin2θ)=2,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(,).
(1)求點(diǎn)M的直角坐標(biāo)和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知直線C1與曲線C2相交于A,B兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為N,求|MN|的值.
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