Question

14．關(guān)于函數(shù)f（x）=|sinx|+|cosx|（x∈R），有如下結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的周期是$\frac{π}{2}$；
②函數(shù)f（x）的值域是[0，$\sqrt{2}$]；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上遞增．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系，將函數(shù)f（x）表示為分段函數(shù)形式，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷即可．

解答 解：當(dāng)2kπ≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)2kπ+$\frac{π}{2}$＜x≤2kπ+π，k∈Z，f（x）=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
當(dāng)2kπ+π＜x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，f（x）=-sinx-cosx=-$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
當(dāng)2kπ+$\frac{3π}{2}$＜x≤2kπ+2π，k∈Z，f（x）=-sinx+cosx=-$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

①函數(shù)f（x）的周期是$\frac{π}{2}$；正確，故①正確，
②函數(shù)f（x）的值域是[1，$\sqrt{2}$]；故②錯(cuò)誤
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{3π}{4}$對(duì)稱；正確，故③正確，
④函數(shù)f（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）上遞增．正確，故④正確，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)將函數(shù)表示成分到函數(shù)形式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．