Question

3．已知f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m-n≠0時，有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜0．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，需要說明理由：
（2）解不等式：f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x）；
（3）若不等式f（x）≥t²-2at+1對?x∈[-1，1]與?t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用減函數(shù)的定義，即可得出結(jié)論；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體不等式，即可得出結(jié)論；
（3）要使f（x）≥t²-2at+1對?x∈[-1，1]恒成立，只要f（x）_min≥t²-2at+1，再利用?t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，
則∵m，n∈[-1，1]，m-n≠0時，有$\frac{f（m）-f（n）}{m-n}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（x）是定義在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤1-x≤1}\\{x+\frac{1}{2}＞1-x}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集為（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]；
（3）由（1）知f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）在[-1，1]上的最小值為f（1）=1，
要使f（x）≥t²-2at+1對?x∈[-1，1]恒成立，只要t²-2at+1≤1⇒t²-2at≤0，
∵?t∈[1，2]恒成立，
∴2a≥t在t∈[1，2]恒成立，
∴2a≥2，
∴a≥1．

點評 本題考查抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可從恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力．