Question

12．將邊長為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記$S=\frac{梯形的周長}{梯形的面積}$，則S的最小值是$\frac{4\sqrt{6}}{3}+2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先設剪成的小正三角形的邊長為x表示出S的解析式，然后求S的最小值，令3-x=t，代入整理，利用基本不等式得到最小值．

解答 解：設剪成的小正三角形的邊長為x，則：S=$\frac{3-x}{\frac{1}{2}×（x+1）×（1-x）\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{3-x}{1-{x}^{2}}$，（0＜x＜1）
令3-x=t，t∈（2，3），
∴S=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{t}{6t-8-{t}^{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{t}{6-\frac{8}{t}-t}$$≥\frac{4}{\sqrt{3}}×\frac{1}{6-2\sqrt{8}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}+2\sqrt{3}$，當且僅當t=$\frac{8}{t}$即t=2$\sqrt{2}$時等號成立；
故答案為：$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}+2\sqrt{3}$．

點評 本題的考點是解三角形的實際運用，主要考查函數(shù)模型的建立，考查利用基本不等式求最值，關鍵是依據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型．