Question

8．如圖所示，△ABC和△BCD都是邊長為2的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，連接AD，E是線段AD的中點(diǎn)．
（1）求三棱錐E-BCD的體積；
（2）判斷直線CE與平面ABD是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連AO、DO，可證AO⊥平面BCD，求得$AO=\sqrt{3}$，又E為AD中點(diǎn)，可求E點(diǎn)到平面BCD的距離，由三角形面積公式求得△BDC的面積，利用三棱錐的體積公式即可計(jì)算得解．
（2）由（1）可求$AO=DO=\sqrt{3}$，進(jìn)而可求AD，由CA=CD，E為AD中點(diǎn)，可求CE，同理可求BE，進(jìn)而通過BC²≠BE²+CE²，證明直線CE與平面ABD是不垂直．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連AO、DO．
由AB=AC，則AO⊥BC，
由平面ABC⊥平面BCD，BC是它們的交線知：AO⊥平面BCD，
由已知得$AO=\sqrt{3}$，…（2分）
即A點(diǎn)到平面BCD的距離為$\sqrt{3}$，
又E為AD中點(diǎn)，
則E點(diǎn)到平面BCD的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
而△BDC的面積為$\sqrt{3}$，
故${V_{三棱錐E-BCD}}=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$． …（6分）
（2）直線CE與平面ABD是不垂直．…（8分）
理由如下：假設(shè)直線CE與平面ABD垂直，
由（1）知∠AOD=90°，且$AO=DO=\sqrt{3}$，
則$AD=\sqrt{A{O^2}+D{O^2}}=\sqrt{6}$，
由CA=CD，E為AD中點(diǎn)，
則$CE=\sqrt{A{C^2}-A{E^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，同理可得$BE=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
若CE⊥平面ABD，BE?平面ABD，
則CE⊥BE，應(yīng)有BC²=BE²+CE²，
而BC²=4，$B{E^2}+C{E^2}={（\frac{{\sqrt{10}}}{2}）^2}+{（\frac{{\sqrt{10}}}{2}）^2}=5$，
則BC²≠BE²+CE²，這與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立．
故直線CE與平面ABD是不垂直．  …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，棱錐的體積的求法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．