Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；

當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a≥1 時(shí)，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina

當(dāng)x∈[0，x1]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈[x1，x2]時(shí)，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減

當(dāng)x∈[x2，π]時(shí)，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

（2）

解：由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤ ．

令g（x）=sinx﹣ （0≤x ），則g′（x）=cosx﹣

當(dāng)x 時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng) 時(shí)，g′（x）＜0

∵ ，∴g（x）≥0，即 （0≤x ），

當(dāng)a≤ 時(shí)，有

①當(dāng)0≤x 時(shí)， ，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②當(dāng) 時(shí)， =1+ ≤1+sinx

綜上，a≤ ．

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤ ，構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx﹣ （0≤x ），可得g（x）≥0（0≤x ），再考慮：①0≤x ；② ，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．