Question

7．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x），對于任意實(shí)數(shù)m，n恒有f（m+n）=f（m）f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，則不等式f（x²）•f（2x-3）＞1的解集是（　�。�

• A． （-∞，-3）
• B． （-3，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，-3）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)x₁＞x₂，由已知得出f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂ ）•f（x₂），且能得出0＜f（x₁-x₂）＜1，確定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判斷出函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，由函數(shù)的單調(diào)性得出不等式，解得即可．

解答 解：設(shè)x₂＞x₁則x₂-x₁＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）•f（x₂-x₁）＜f（x₁）
∴函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)
所以，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減．
令m=0，n=0則f（0）=f（0）•f（0），
∴f（0）=1，
∵f（x²）•f（2x-3）＞1
∴f（x²+2x-3）＞f（0），
又函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)，
∴x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
故原不等式的解集為（-3，1）．
故選B．

點(diǎn)評 本題主要考查了抽象函數(shù)表達(dá)式反映函數(shù)性質(zhì)及抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義及其證明，利用函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法．