Question

1．已知雙曲線的方程為x²-$\frac{y^2}{3}$=1，直線m的方程為x=$\frac{1}{2}$，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（2，0）的直線l與雙曲線右支相交于P，Q，以PQ為直徑的圓與直線m相交于M，N，記劣弧MN的長(zhǎng)度為n，則$\frac{n}{{|{PQ}|}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． 與直線l的位置有關(guān)

Answer 1

分析 由直角梯形的中位線性質(zhì)可得：d=$\frac{zbnljf5_{1}+ztpdd3d_{2}}{2}$，再利用雙曲線的第二定義可得r=d₁+d₂，即可得到∠MEN=$\frac{2π}{3}$，即可根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到弧長(zhǎng)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：雙曲線的方程為x²-$\frac{y^2}{3}$=1，則a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=2．
直線m的方程為x=$\frac{1}{2}$，即為右準(zhǔn)線方程．
設(shè)P、Q到右準(zhǔn)線的距離分別等于d₁、d₂，
PQ的中點(diǎn)為E，E到右準(zhǔn)線的距離等于d，并且圓的半徑等于r=$\frac{丨PQ丨}{2}$，
由直角梯形的中位線性質(zhì)可得：d=$\frac{tpv1nhj_{1}+1zf5fd5_{2}}{2}$，
再根據(jù)雙曲線的第二定義可得：$\frac{丨PF丨}{pv3j1rj_{1}}$=e=2，$\frac{丨QF丨}{x1zjn1b_{2}}$=e=2，
∴|PF|+|QF|=2（d₁+d₂）=2r，
∴r=d₁+d₂，
即可得到r=2d，
∴∠MEN=$\frac{2π}{3}$，
則有劣弧MN的長(zhǎng)度為n=$\frac{2πr}{3}$，
∴$\frac{n}{{|{PQ}|}}$=$\frac{π}{3}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的第二定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用與圓的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中檔題．