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10.在銳角△ABC中,sinA=265,cosC=57,BC=7,若動點P滿足AP=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+(1-λ)\overrightarrow{AC}(λ∈R),則點P軌跡與直線AB,AC所圍成的封閉區(qū)域的面積(  )
A.3\sqrt{6}B.4\sqrt{6}C.6\sqrt{6}D.12\sqrt{6}

分析 根據(jù)向量加法的幾何意義得出P點軌跡,利用正弦定理解出AB,得出△ABC的面積,從而求出圍成封閉區(qū)域的面積.

解答 解:取AB的中點D,連結(jié)CD.\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}
\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+(1-λ)\overrightarrow{AC}\overrightarrow{AD}+(1-λ)\overrightarrow{AC}
∴C,D,P三點共線.
∴P點軌跡為直線CD.
在△ABC中,cosA=\frac{1}{5},sinC=\frac{2\sqrt{6}}{7}
由正弦定理得\frac{7}{\frac{2\sqrt{6}}{5}}=\frac{AB}{\frac{2\sqrt{6}}{7}},解得AB=5.
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=\frac{12\sqrt{6}}{35}
∴S△ABC=\frac{1}{2}×5×7×\frac{12\sqrt{6}}{35}=6\sqrt{6}
∴S△ACD=\frac{1}{2}S△ABC=3\sqrt{6}
故選:A.

點評 本題考查了平面向量線性運(yùn)算的幾何意義,正弦定理解三角形,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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