Question

20．在底面為正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點．
（1）求證：BF∥平面A₁EC；
（2）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求二面角C-EA₁-A的大�。�
（2）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求三棱錐C₁-A₁EC的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁C的中點H，連結HE，HF，推導出四邊形EBFH為平行四邊形，由此能證明BF∥平面A₁EC．
（2）設AB中點為G，連結EG，CG，推導出∠GEC為二面角C-EA₁-A的平面角，由此能求出二面角C-EA₁-A的大�。�
（3）三棱錐C₁-A₁EC的體積${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}EC}$=${V}_{E-{A}_{1}{C}_{1}C}$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）取A₁C的中點H，連結HE，HF，
則HF∥A₁A，HF=$\frac{1}{2}$A₁A，
∴EB∥HF，且EB=HF，
∴四邊形EBFH為平行四邊形，
∴BF∥EH，且EH?平面A₁EC，BF?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
解：（2）設AB中點為G，連結EG，CG，
∵CG⊥AB，CG⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CG⊥平面BAA₁B₁，
∴CG⊥EA₁，且EC=A₁E=$\sqrt{6}$，A₁C=2$\sqrt{2}$，
∴A1E2+EC²=A1C2，∴EC⊥EA₁，
∵CG∩EC=C，∴EA₁⊥平面EGC，∴EG⊥EA₁，
∴∠GEC為二面角C-EA₁-A的平面角，
且EG=GC=$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{6}$，
∴∠GEC=45°．
∴二面角C-EA₁-A的大小為45°．
（3）三棱錐C₁-A₁EC的體積：
${V}_{{C}_{1}-{A}_{1}EC}$=${V}_{E-{A}_{1}{C}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×BF×{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}C}$
=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．