Question

4．已知$f（x）=a{x^2}+\frac{x}$（a＞0，b＞0），曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線經(jīng)過點(diǎn)$（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$有（　�。�

• A． 最小值9
• B． 最大值9
• C． 最小值4
• D． 最大值4

Answer 1

分析 求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，化簡可得4a+b=1，由$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$），化簡整理，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：$f（x）=a{x^2}+\frac{x}$（a＞0，b＞0）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2ax-$\frac{{x}^{2}}$，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=2a-b，
切點(diǎn)為（1，a+b），
可得2a-b=$\frac{a+b-\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{2}}$，
化為4a+b=1，
則有$\frac{1}{a}+\frac{1}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{1}$）=5+$\frac{a}$+$\frac{4a}$≥5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=$\frac{1}{3}$時(shí)，取得最小值9．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．