Question

11．已知當x＜1時，f（x）=（2-a）x+1；當x≥1時，f（x）=a^x（a＞0且a≠1）．若對任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，2）
• B． $（1，\frac{3}{2}]$
• C． $[\frac{3}{2}，2）$
• D． （0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f（x）在R上單調遞增，分別運用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，以及單調性的定義，得到a的不等式，求交集，即可得到所求范圍．

解答 解：對任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
即為f（x）在R上單調遞增，
由當x＜1時，f（x）=（2-a）x+1，可得2-a＞0，
解得a＜2；①
又當x≥1時，f（x）=a^x（a＞0且a≠1），
可得a＞1；②
又f（x）在R上單調遞增，可得
2-a+1≤a，解得a≥$\frac{3}{2}$③
由①②③可得$\frac{3}{2}$≤a＜2，
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的單調性的判斷，注意運用一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，以及單調性的定義，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．