Question

5．設(shè)點(diǎn)P（x，y）（x≥0）為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P到定點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大$\frac{1}{2}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若直線l：y=kx與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=2$\sqrt{6}$，求k的值．
（3）設(shè)點(diǎn)P的軌跡是曲線C，點(diǎn)Q（1，y₀）是曲線C上的一點(diǎn)，求以Q為切點(diǎn)的曲線C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）過(guò)P作x軸的垂線且垂足為N，由題意可丨PM丨-丨PN丨=$\frac{1}{2}$，．由y≥0，|PN|=y，知$\sqrt{{x}^{2}-（y-\frac{1}{2}）^{2}}$=y-$\frac{1}{2}$，由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得k的值；
（3）由Q（1，y）是曲線C上一點(diǎn)，則x²=2y，y=$\frac{1}{2}$，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由函數(shù)，求導(dǎo)得y'=x，由此能求出以Q為切點(diǎn)的曲線C 的切線方程．

解答 解：（1）過(guò)P作x軸的垂線且垂足為N，由題意可知：丨PM丨-丨PN丨=$\frac{1}{2}$，
而y≥0，∴|PN|=y，
∴$\sqrt{{x}^{2}-（y-\frac{1}{2}）^{2}}$=y-$\frac{1}{2}$，
化簡(jiǎn)得x²=2y（y≥0）為所求的方程．…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=2k}\\{y=2{k}^{2}}\end{array}\right.$，
A（0，0），B（2k，2k²）
則丨AB丨=$\sqrt{4{k}^{2}+4{k}^{4}}$，
∴k⁴+k²-6=0而k²≥0，
∴k²=2，
∴k=±$\sqrt{2}$，
∴k的值±$\sqrt{2}$．…（8分）
（3）Q（1，y）是曲線C上一點(diǎn)，
∴x²=2y，y=$\frac{1}{2}$，
∴切點(diǎn)為（1，$\frac{1}{2}$），
由y=$\frac{1}{2}$x²，求導(dǎo)得y'=x，
∴當(dāng)x=1時(shí)k=1，
則直線方程為y-$\frac{1}{2}$（x-1），
即2x-2y-1=0是所求切線方程．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線的為位置關(guān)系，兩點(diǎn)之間的距離公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．