Question

4．△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，且2$\overrightarrow{OC}$$+\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，則$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$等于（　�。�

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用向量的運算法則將已知等式化簡得到$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，得到AB為直徑，故△ABC為直角三角形，求出三邊長可得A 的值，利用兩個向量的數(shù)量積的定義求值．

解答 解：因為2$\overrightarrow{OC}$$+\overrightarrow{CB}$$+\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$，所以$\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OA}$，
所以O，B，A共線，AB為圓的直徑，
所以AC⊥BC，△ABC外接圓的半徑為1，圓心為O，
$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CB}$|，
所以∠A=30°，BC=1，AC=$\sqrt{3}$
所以$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{AB}$=|$\overrightarrow{AC}$||$\overrightarrow{AB}$|cos30°=$\sqrt{3}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3；
故選C．

點評 本題主要考查向量在幾何中的應用、向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件等基本知識．求出△ABC為直角三角形及三邊長，是解題的關鍵．