Question

15．已知直線l：y=x+b，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，直線l與圓C相切，求b的值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，是否存在a，使得直線l與圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且滿足x₁x₂+y₁y₂=1？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入圓C的方程，化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式列式求得b值；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+1與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，聯(lián)立方程，消去y得：2x²+2x+2a²-6a+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式分析可得不存在a，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足x₁x₂+y₁y₂=1．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，圓C：x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0化為x²+y²+2x-2y-2=0，
即（x+1）²+（y-1）²=4，
∴圓心C（-1，1），半徑r=2．
∵直線l與圓C相切，
∴$\frac{|-1-1+b|}{\sqrt{2}}=2$，解得b=2±$2\sqrt{2}$；
（2）當(dāng)b=1時(shí)，假設(shè)存在a，使直線l：y=x+1與圓C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
聯(lián)立方程，消去y得：2x²+2x+2a²-6a+1=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=a²-3a+$\frac{1}{2}$．
又∵y₁•y₂=（x₁+1）（x₂+1）=x₁•x₂+（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁•x₂+（x₁+x₂）+1
=2（a²-3a+$\frac{1}{2}$）-1+1=1，
即：2a²-6a=0，解得：a=3或a=0（舍去），
又∵△=2²-8（2a²-6a+1）＜0，
故不存在a，使得直線l與⊙C相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足x₁x₂+y₁y₂=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系及其方程的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．