Question

已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項的和，滿足S_n=

t-tan

1-t

（n∈N^*），其中t為常數(shù)，且t≠0，t≠1．
（1）求通項a_n；
（2）若t=-

3

2

，設(shè)b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|問數(shù)列{b_n}的最大項是它的第幾項？

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=t≠0，由（1-t）S_n+1=t-ta_n+1，（1-t）S_n=t-ta_n，兩式相減可得

an+1

an

=t，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|=（n+2）(-

3

2

)n•nln(

3

2

)．對n分類討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=t≠0，
由已知可得：
（1-t）S_n+1=t-ta_n+1，
（1-t）S_n=t-ta_n，
∴

an+1

an

=t，
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，∴a_n=tⁿ．

（2）b_n=（n+2）•a_n•ln|a_n|=（n+2）(-

3

2

)n•nln(

3

2

)．
當(dāng)n為偶數(shù)時，b_n＜0，
∴{b_n}不存在最大項；當(dāng)n為奇數(shù)時，b_n＞0，設(shè){b_n}最大項為b_m．
則

bm≥bm+2 bm≥bm-2

，解得12≤m≤14，
∴m=14．
∴數(shù)列{b_n}的最大項為第13項．

點評：本題考查了遞推數(shù)列的意義、等比數(shù)列的通項公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．