Question

11．存在正數m，使得方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=m的正根從小到大排成一個等差數列．若點A（1，m）在直線ax+by-2=0（a＞0，b＞0）上，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 運用兩角差的正弦公式，化簡可得y=2sin（x-$\frac{π}{6}$），可得0＜m≤2，討論m的范圍，結合三角函數的圖象和等差數列的定義，可得m=2，將A代入直線方程，可得a+2b=2，再由乘1法和基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由$\sqrt{3}$sinx-cosx=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}$cosx）=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
存在正數m，使得方程$\sqrt{3}$sinx-cosx=m的正根從小到大排成一個等差數列，
即有0＜m≤2．
若0＜m＜2，由y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象可得：直線y=m與函數y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象的交點的橫坐標不成等差數列，
若m=2，即有x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即為x=2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
可得所有正根從小到大排成一個等差數列，公差為2π，
則m=2，
由點A（1，2）在直線ax+by-2=0上，
可得a+2b=2，a，b＞0，
即b+$\frac{1}{2}$a=1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（b+$\frac{1}{2}$a）=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{a}$+$\frac{a}$
≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{a}}$=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$．
當且僅當a=b=$\frac{2}{3}$時，取得最小值$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查最小值的求法，注意運用基本不等式，運用乘1法，同時考查三角函數的化簡，以及等差數列的定義，考查運算能力，屬于中檔題．