Question

16．已知函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）-sin2x．
（1）利用“五點(diǎn)法”列表，并畫(huà)出f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的圖象；
（2）a，b，c分別是銳角△ABC中角A，B，C的對(duì)邊．若a=$\sqrt{3}$，f（A）=-$\sqrt{3}$，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)已知可得f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$），由五點(diǎn)作圖法，即可作出相應(yīng)的圖象；
（2）由已知可求A，利用正弦定理可得b=2sinB，c=2sinC，從而利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)三角形周長(zhǎng)可得：L=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（C+$\frac{π}{6}$），根據(jù)C的范圍即可求得周長(zhǎng)的取值范圍．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）將函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）-sin2x化簡(jiǎn)成為f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{3}$），根據(jù)列表

2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
y	$\sqrt{3}$	0	$-\sqrt{3}$	0	$\sqrt{3}$

描點(diǎn)，連線(xiàn)，函數(shù)圖象如圖所示：
…（6分）
（2）∵在銳角△ABC中，$a=\sqrt{3}，f（A）=-\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$cos（2A+$\frac{π}{3}$），
∴可得：2A+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，k∈Z，解得：A=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴由A為銳角，可知$A=\frac{π}{3}$，
∵由正弦定理可知$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴可得：周長(zhǎng)$L=\sqrt{3}+2sinB+2sinC=\sqrt{3}+2sin（\frac{2π}{3}-C）+2sinC=\sqrt{3}+2\sqrt{3}sin（C+\frac{π}{6}）$，
∵$\frac{π}{6}＜C＜\frac{π}{2}$，可得：C+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），sin（C+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴L的取值范圍是$（3+\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了五點(diǎn)作圖法，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．