Question

已知函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[－1，1]上是增函數(shù)．
(1)求實數(shù)a的值組成的集合A；
(2)設x₁、x₂是關于x的方程f(x)＝的兩個相異實根，若對任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m²＋tm＋1≥|x₁－x₂|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)

(1)f′(x)＝，
因為f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)，所以當x∈[－1，1]時，
f′(x)≥0恒成立，
令φ(x)＝x²－ax－2，即x²－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.
所以A＝{a|－1≤a≤1}．
(2)由f(x)＝得x²－ax－2＝0.
設x₁，x₂是方程x²－ax－2＝0的兩個根，所以x₁＋x₂＝a，x₁x₂＝－2.從而|x₁－x₂|＝，因為a∈[－1，1]，所以≤3，即|x₁－x₂|_max＝3，
不等式對任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，
即m²＋tm－2≥0恒成立．
設g(t)＝m²＋tm－2＝mt＋m²－2，則
解得m≥2或m≤－2.故m的取值范圍是(－∞，－2]∪[2，＋∞)