Question

如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，BB₁=4，E是棱CC₁上的點(diǎn)，且CE=1；F是DD₁中點(diǎn)
（1）求異面直線DB與CF所成角的大�。�
（2）求證：A₁C⊥平面BDE．
（3）求二面角B-DE-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
（1）

DB

=（2，-2，0），

CF

=（-2，0，2），利用向量的夾角公式，即可求異面直線DB與CF所成角的大�。�
（2）證明

A1C

•

DB

=2×2+2×(-2)+(-4)×0=0，

A1C

•

BE

=2×0+2×2+(-4)×1=0，即可證明A₁C⊥平面BDE．
（3））

A1C

=(2，2，-4)是平面BDE的一個(gè)法向量，

j

=(0，1，0)是平面CDE的一個(gè)法向量，向量

A1C

與

j

所成角是二面角B-DE-C的平面角（或其補(bǔ)角），利用向量的夾角公式求二面角B-DE-C的余弦值．

解答： 解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB、AD、AA₁所在直線分別為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0）、D（0，2，0）、C（2，2，0），E（2，2，1）、F（0，2，2），A₁（0，0，4）
（1）

DB

=（2，-2，0），

CF

=（-2，0，2），設(shè)異面直線DB與CF所成角為θ，則cosθ=

|-4|

2 2 ×2 2

=

1

2

，（5分）
∴θ=60°，即異面直線DB與CF所成角為60°  …（6分）
（2）∴

A1C

=(2，2，-4)，

BE

=(0，2，1)．        …（7分）
∵

A1C

•

DB

=2×2+2×(-2)+(-4)×0=0，

A1C

•

BE

=2×0+2×2+(-4)×1=0，
∴

A1C

⊥

BD

，

A1C

⊥

BE

．
∴A₁C⊥BE，A₁C⊥BD． …（9分）
∵BE∩BD=B，BE?平面BDE，ED?平面BDE，∴A₁C⊥平面BDE． …（10分）
（3）由（2）

A1C

=(2，2，-4)是平面BDE的一個(gè)法向量…（11分）

j

=(0，1，0)是平面CDE的一個(gè)法向量             …（12分）
向量

A1C

與

j

所成角是二面角B-DE-C的平面角（或其補(bǔ)角），
∴cos＜

A1C

，

j

＞=

A1C • j

|A1C| •| j|

=

6

6

∴二面角B-DE-C的余弦值為

6

6

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的平面角及求法、考查異面直線及其所成的角、考查直線與平面垂直的判定，考查向量法的運(yùn)用，屬于中檔題．