Question

1．如圖，已知⊙A和⊙B的公共弦CD與AB相交于點(diǎn)E，CB與⊙A相切，⊙B半徑為2，AE=3．
（Ⅰ）求弦CD的長(zhǎng)；
（Ⅱ）⊙B與線段AB相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF與⊙A相交于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)CA，由圓的切線的性質(zhì)、對(duì)稱性，根據(jù)射影定理求出BE，再根據(jù)勾股定理，繼而得出弦CD的長(zhǎng)；
（Ⅱ）在△CEF中，求出EF，CF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)⊙A與直線AB相交于M，N兩點(diǎn)，分別求出AF，MF，NF，根據(jù)相交弦定理求得CF•FG，得出FG，繼而求得CG的值．

解答 解：（Ⅰ）證明：連結(jié)CA，則CA⊥CB，
∵由圓的對(duì)稱性知CD⊥AB，
∴由射影定理得：BC²=BE•BA=BE•（BE+EA），
∴2²=BE•（BE+3），∴BE=1；     
∴在 Rt△BEC中，$CE=\sqrt{B{C^2}-B{E^2}}=\sqrt{3}$，
∴$CD=2\sqrt{3}$．                    
（Ⅱ）在△CEF中，$CE=\sqrt{3}$，EF=BF-BE=1，
∴CF=2，
在△ACE中，$AC=\sqrt{E{C^2}+A{E^2}}=2\sqrt{3}$．              
設(shè)⊙A與直線AB相交于M，N兩點(diǎn)，
AF=AE-EF=3-1=2，$MF=2\sqrt{3}+2，NF=2\sqrt{3}-2$，
∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=（2$\sqrt{3}$+2）•（2$\sqrt{3}$-2）=8，
∴FG=4，
∴CG=4+2=6．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查射影定理、相交弦定理、圓的切線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．