Question

11．函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1在R上存在極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）

• A． -3≤a≤6
• B． a≥6或a≤-3
• C． -3＜a＜6
• D． a＞6或a＜-3

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在R上至少有一個(gè)零點(diǎn)，主要不能有兩個(gè)相等的零點(diǎn)，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1，
∴f′（x）=3x²+2ax+a+6，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1在R上存在極值，
∴函數(shù)f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1在R上不是單調(diào)函數(shù)
∴f′（x）=3x²+2ax+a+6=0有兩個(gè)不等的根，
即△=4a²-12a-72＞0，
解得a＜-3，或a＞6，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)a的取值范圍，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意導(dǎo)函數(shù)等于0的等根的情形，以免出現(xiàn)只一個(gè)零點(diǎn)的誤解．