【題目】已知橢圓，且橢圓C上恰有三點在集合中.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點O為坐標原點，直線AB與橢圓交于A、B兩點，且滿足，試探究：點O到直線AB的距離是否為定值.如果是，請求出定值：如果不是，請明說理由.

（3）在（2）的條件下，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）點O到直線AB的距離為定值（3）

【解析】

（1）利用橢圓的對稱性得橢圓必過和，結(jié)合橢圓過點，求得的值，從而得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，，對直線的斜率進行討論，當斜率存在時設(shè)為，

由得，代入點到直線的距離公式可得答案；

（3）將弦表示成關(guān)于的函數(shù)，利用基本不等式求得弦的最大值，再代入三角形的面積公式，求得三角形面積的最大值.

（1）和關(guān)于原點對稱，故由題意知，橢圓C必過此兩點

，又當橢圓過點時，，∴，

此時滿足，符合題意.

所以橢圓.

又當橢圓過點時，，∴，

此時，不符合題意.

綜上：橢圓.

（2）設(shè)，，若斜率存在，則設(shè)直線，

由，得，

，

由知，

，

代入得，

又原點到直線AB的距離，

且當AB的斜率不存在時，，可得，依然成立.

所以點O到直線AB的距離為定值.

（3）由（2）知，

由（2）知，，

；

因為，當且僅當，即時等號成立.

所以；

易知當AB斜率不存在時，，所以，

綜上得的面積的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】函數(shù).

（Ⅰ）當曲線在點處的切線與直線垂直時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.

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【題目】出租車幾何學(xué)是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學(xué)中，點還是形如的有序?qū)崝?shù)對，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來一樣，對于直角坐標系內(nèi)任意兩點、定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：，請解決以下問題：

（1）求線段（，）上一點到原點的“距離”；

（2）求所有到定點的“距離”均為2的動點圍成的圖形的周長；

（3）在“歐式幾何學(xué)”中有如下三個與“距離”有關(guān)的正確結(jié)論：

①平面上任意三點A，B，C，；

②平面上不在一直線上任意三點A，B，C，若，則是以為直角三角形

③平面上存在兩個不同的定點A，B，若動點P滿足，則動點P的軌跡是的垂直平分線

上述結(jié)論對于“出租車幾何學(xué)”中的直角距離是否還正確，并說明理由.

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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=3，PM=2MD，AN=2NB，∠DAB=60°．

（1）求證：直線AM∥平面PNC；

（2）求二面角D﹣PC﹣N的余弦值．

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【題目】如圖是甲、乙、丙三個企業(yè)的產(chǎn)品成本（單位：萬元）及其構(gòu)成比例，則下列判斷正確的是（　�。�

A. 乙企業(yè)支付的工資所占成本的比重在三個企業(yè)中最大

B. 由于丙企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模大，所以它的其他費用開支所占成本的比重也最大

C. 甲企業(yè)本著勤儉創(chuàng)業(yè)的原則，將其他費用支出降到了最低點

D. 乙企業(yè)用于工資和其他費用支出額比甲丙都高

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【題目】有兩種理財產(chǎn)品和，投資這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立）：

產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

產(chǎn)品：

投資結(jié)果

獲利

不賠不賺

虧損

概率

注：

（1）若甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品投資，一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若丙要將20萬元人民幣投資其中一種產(chǎn)品，以一年后的投資收益的期望值為決策依據(jù)，則丙選擇哪種產(chǎn)品投資較為理想.

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