Question

9．設(shè)關(guān)于某產(chǎn)品的明星代言費(fèi)x（百萬元）和其銷售額y（百萬元），有如表的統(tǒng)計(jì)表格：

i	1	2	3	4	5	合計(jì)
xi（百萬元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百萬元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百萬元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00
$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$xiyi=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$wiyi=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（xi-$\overline{x}$）2=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（wi-$\overline{w}$）2=10.14

其中${ω_i}=x_i^3（i=1，2，3，4，5）$．
（1）在坐標(biāo)系中，作出銷售額y關(guān)于廣告費(fèi)x的回歸方程的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一個(gè)適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸類方程（不需要說明理由）；
（2）已知這種產(chǎn)品的純收益z（百萬元）與x，y有如下關(guān)系：x=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），試寫出z=f（x）的函數(shù)關(guān)系式，試估計(jì)當(dāng)x取何值時(shí)，純收益z取最大值？（以上計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)統(tǒng)一保留到小數(shù)點(diǎn)第2位）

Answer 1

分析 （1）散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y=c+dx³適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸方程．
（2）令ω=x³，則y=c+dω是y關(guān)于ω的線性回歸方程，求出y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．z=f（x）=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出當(dāng)明星代言費(fèi)x=2.00百萬元時(shí)，純收益z取最大值．

解答 解：（1）散點(diǎn)圖如右圖：
根據(jù)散點(diǎn)圖可知，y=c+dx³適合作銷售額y關(guān)于明星代言費(fèi)x的回歸方程．
（2）令ω=x³，則y=c+dω是y關(guān)于ω的線性回歸方程，
所以$\widehatygnfegs$=$\frac{\sum_{i}^{5}{ω}_{i}{•y}_{i}-5\overline{ω}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-{\overline{ω}}）^{2}}$=1.21，$\widehat{c}$=$\overline{y}$-1.21ω=1.15+1.21x³，
所以y=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³．
z=f（x）=0.2y-0.726x=0.2（1.15+1.21x³）-0.726x
=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]
令z'=0.726x²-0.726≥0，得x≥1.00，
因?yàn)閤∈[1.00，2.00]，
所以估計(jì)當(dāng)明星代言費(fèi)x=2.00百萬元時(shí)，純收益z取最大值．
估計(jì)：當(dāng)明星代言費(fèi)x=2.00百萬元時(shí)，純收益z取最大值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性回歸方程的應(yīng)用，是中檔題，解題是要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．