Question

在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，0≤α＜π），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4cos（θ-），直線l與曲線C相交于A、B兩點．
（I）求曲線C的直角坐標方程，并指出它是什么曲線；
（II）若|AB|≥，求α的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可把極坐標方程化為普通方程；
（Ⅱ）方法一：利用圓心C到直線l的距離d、r、三者之間的關系：d=，及|AB|，即可求出答案；
方法二：把直線的參數(shù)方程代入圓的普通方程化為關于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式|AB|=|t₁-t₂|和|AB|即可得出的答案．
解答：解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=4cos（θ-），可化為，
∴，
∴曲線C的普通方程為，
即，
∴曲線C是圓心為C，半徑r=2的圓．
（Ⅱ）方法一：∵r=2，弦|AB|≥，
根據(jù)圓心C到直線l的距離d=，
∴d≤=．
當時，圓心C到直線l的距離是1，不成立；
當時，設k=tanα，則l：．
d==，
解得，即．
∵0≤α＜π，∴，即為α的取值范圍．
方法二：把代入曲線C的方程，
化為t²+2tcosα-3=0，
∴t₁+t₂=-2cosα，t₁t₂=-3．
∴|AB|=|t₁-t₂|==，
∵|AB|，
∴，
∴，
∵0≤α＜π，∴，即為α的取值α
點評：正確利用圓心C到直線l的距離d、r、三者之間的關系：d=，及直線l的參數(shù)方程中的t的意義是解題的關鍵．