Question

設(shè)有二元關(guān)系f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1，已知曲線г：f（x，y）=0
（1）若a=2時，正方形 ABCD的四個頂點均在曲線上г，求正方形ABCD的面積；
（2）設(shè)曲線г與x軸的交點是M、N，拋物線г′：y=

1

2

x²+1與 y 軸的交點是G，直線MG與曲線г′交于點P，直線NG 與曲線г′交于Q，求證：直線PQ過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
（3）設(shè)曲線г與x軸的交點是M（u，0），N（v，0），可知動點R（u，v）在某確定的曲線∧上運動，曲線∧與上述曲線г在a≠0時共有四個交點：A（x₁，x₂），B（x₃，x₄），C（x₅，x₆），D（x₇，x₈），集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設(shè)為Y_i（i=1，2，…，255），將Y_i中的所有元素相加（若i Y 中只有一個元素，則其是其自身）得到255 個數(shù)y₁，y₂，…，y₂₅₅求所有的正整數(shù)n 的值，使得y₁ⁿ+y₂ⁿ+…+y₂₅₅ⁿ 是與變數(shù)a及變數(shù)x_i（i=1，2，…8）均無關(guān)的常數(shù)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，由于f（x，y）表示兩條平行線，之間的距離是2，為一個正方形，即可得出面積S．
（2）：在曲線C中，令y=0，則x²+ax-1=0，設(shè)M（m，0），N（n，0），則mn=-1，G（0，1），
則直線MG：y=-

1

m

x+1，NG：y=-

1

n

x+1．分別與拋物線方程聯(lián)立可得P(-

2

m

，

2+m2

m

)，Q(-

2

n

，

2+n2

n

)．直線PQ的方程為：y-

2

n2

-1=(m+n)(x+

2

n

)，令x=0，可得y=3，因此直線PQ過定點（0，3）．
（3）令y=0，則x²+ax-1=0，則mn=-1，即點R（u，v）在曲線xy=-1上，又曲線C：f（x，y）=0．恒表示平行線x-y=

-a± a2+4

2

，A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）關(guān)于直線y=-x對稱，即x₁+x₂+x₃+x₄=0，同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，則x₁+x₂+…+x₈=0，集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設(shè)為Y_i=1，2，…，255），取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，則y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，即n∈N^*，

y

n 1

=0，對X的其它子集，把它們配成集合“對”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，這樣的集合“對”共有127對，且對每一個集合“對”都滿足y_p+y_q=0．可以利用扇形歸納法證明：對于Y_p的元素和y_p與Y_q的元素和y_q，當(dāng)n為奇數(shù)時，

y

n p

+

y

n q

=0．即可得出．

解答： 解：（1）令f（x，y）=（x-y）²+2（x-y）-1=0，解得x-y=-1±

2

，
∴f（x，y）=0表示兩條平行線，之間的距離是2，此為一個正方形的一個邊長，其面積S=4．

（2）證明：在曲線C中，令y=0，則x²+ax-1=0，
設(shè)M（m，0），N（n，0），則mn=-1，G（0，1），
則直線MG：y=-

1

m

x+1，NG：y=-

1

n

x+1．
聯(lián)立

y=- 1 m x+1 y= 1 2 x2+1

，解得P(-

2

m

，

2+m2

m2

)，
同理可得Q(-

2

n

，

2+n2

n2

)．
∴直線PQ的方程為：y-

2

n2

-1=(m+n)(x+

2

n

)
令x=0，則y=

2

n2

+1+(m+n)

2

n

=

2

n2

+1+(-

1

n

+n)

2

n

=3，
因此直線PQ過定點（0，3）．

（3）令y=0，則x²+ax-1=0，
則mn=-1，即點R（u，v）在曲線xy=-1上，
又曲線C：f（x，y）=（x-y）²+a（x-y）-1=0．
恒表示平行線x-y=

-a± a2+4

2

，如圖所示，
A（x₁，x₂），B（x₃，x₄）關(guān)于直線y=-x對稱，則

x1+x3

2

=-

x2+x4

2

，即x₁+x₂+x₃+x₄=0，
同理可得x₅+x₆+x₇+x₈=0，則x₁+x₂+…+x₈=0，
集合X={x₁，x₂，…，x₈}的所有非空子集設(shè)為Y_i，
取Y₁={x₁，x₂，…，x₈}，則y₁=x₁+x₂+…+x₈=0，即n∈N^*，

y

n 1

=0，
對X的其它子集，把它們配成集合“對”（Y_p，Y_q），Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，
這樣的集合“對”共有127對，且對每一個集合“對”都滿足y_p+y_q=0．
以下證明：對于Y_p的元素和y_p與Y_q的元素和y_q，當(dāng)n為奇數(shù)時，

y

n p

+

y

n q

=0．
先證明：n為奇數(shù)時，x+y能夠整除xⁿ+yⁿ，用數(shù)學(xué)歸納法證明．
1°當(dāng)n=1時，成立；
2°假設(shè)當(dāng)n=k（奇數(shù)）時，x+y能夠整除x^k+y^k，
則當(dāng)n=k+2時，x^k+2+y^k+2=x^k+2-x^ky²+x^ky²+y^k+2=x^k（x²-y²）+y²（x^k+y^k），
因此上式可被x+y整除．
由1°，2°可知：n為奇數(shù)時，x+y能夠整除xⁿ+yⁿ．
又∵當(dāng)n為奇數(shù)時，

y

n p

+

y

n q

=（y_p+y_q）M，其中M是關(guān)于y_p，y_q的整式，
∵Y_p∪Y_q=X，Y_p∩Y_q=∅，
∴每一個集合“對”（Y_p，Y_q）都滿足y_p+y_q=0．則一定有

y

n p

+

y

n q

=（x+y）M=0，M∈N^*，
于是可得y₁ⁿ+y₂ⁿ+…+y₂₅₅ⁿ=0是常數(shù)．

點評：本題考查了平行直線系、直線的交點、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、集合的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、對稱性、扇形歸納法，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．