Question

如圖，在棱長為2的正方體AC′中，E，F(xiàn)為BC和AA′的中點
（1）求證：FC′⊥平面B′D′E
（2）求A′B與平面B′D′E所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積得到直線與直線垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定得到結(jié)論．
（2）首先求出平面的法向量，進(jìn)一步利用向量的數(shù)量積，及夾角公式求出結(jié)果．

解答： 證明：（1）在棱長為2的正方體AC′中，以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則：D（0，0，0），E（1，2，0），F(xiàn)（（2，0，1），D′（0，0，2），A′（2，0，2），B（2，2，0），C′（0，2，2），B′（2，2，2）．
所以：

FC′

=(-2，2，1)，

B′D′

=(-2，-2，0)，

B′E

=(-1，0，-2)，

A′B

=(0，2，-2)
則：

FC′

•

B′D′

=0
所以：FC′⊥B′D′
同理：

FC′

•

B′E

=0
所以：FC′⊥B′E
則：FC′⊥平面B′D′E
（2）由于：FC′⊥平面B′D′E
所以：

FC′

可以看做是平面B′D′E的法向量，
則：cos＜

A′B

，

C′F

＞=

A′B • C′F

| A′B || C′F |

=

2

6

則：A′B與平面B′D′E所成角的正弦值為

2

6

．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直的判定的應(yīng)用，空間直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，法向量的應(yīng)用，向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題型．