Question

3．α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β=EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個條件，就能得出BD⊥EF，現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF．其中能成為增加條件的序號是①或③．

Answer 1

分析 將每一個條件作為已知條件進(jìn)行分析證明，得出結(jié)論．

解答 解：①因為AC⊥α，且EF?α，所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α，所以EF⊥AB．
因為AC∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD，所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．
所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
因為CD⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，
AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC，
因為AC∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因為BD?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF，則AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
故答案為：①③．

點評 本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定和性質(zhì)來說清楚題目的對錯，屬于中檔題．