Question

已知函數(shù)，其中且m為常數(shù)．

（1）試判斷當時函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；

（2）設函數(shù)在處取得極值，求的值，并討論函數(shù)的單調(diào)性．

 

Answer 1

（1）在區(qū)間上為增函數(shù)，證明見解析；（2），在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

【解析】

試題分析：（1）首先求導函數(shù)，然后根據(jù)區(qū)間判斷的符號即可證明；（2）利用函數(shù)的極值點是導函數(shù)的零點通過建立方程可求得的值，然后再通過判斷的符號確定單調(diào)區(qū)間．

（1）當時，，求導數(shù)得：．

∵當時，，∴ ，

∴當時函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．

（2）求導數(shù)得：．

由是的極值點得，∴．

于是，定義域為，，

顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，

因此當時，；時，，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；3、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．