Question

1．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線x=-2與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓上位于直線x=-2兩側(cè)的動點(diǎn)，若直線AB的斜率為$\frac{1}{2}$，求四邊形APBQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），由已知得b=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先求出|PQ|=6，設(shè)直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x+m$，與$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$聯(lián)立，得x²+mx+m²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長公式，結(jié)合已知能求出四邊形APBQ面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
∵橢圓的離心率等于$\frac{1}{2}$，它的一個頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=8$\sqrt{3}$y的焦點(diǎn)．
${x^2}=8\sqrt{3}y$焦點(diǎn)為$（0，2\sqrt{3}）$…（1分）
∴b=2$\sqrt{3}$…（2分）e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²+b²=c²，
∴解得a²=16，b²=12，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．…（4分）
（2）直線 x=-2與橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$交點(diǎn)P（-2，-3），Q（-2，3）或P（-2，-3），Q（-2，3），
∴|PQ|=6，…（5分）
設(shè)A （x₁，y₁  ），B（ x₂，y₂），直線AB的方程為 $y=\frac{1}{2}x+m$，
與$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$聯(lián)立得x²+mx+m²-12=0…（6分）
由△=m²-4（m²-12）＞0，得-4＜m＜4，…（7分）
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-m，${x_1}{x_2}={m^2}-12$，…（8分）
由A，B兩點(diǎn)位于直線x=-2兩側(cè)，得（x₁+2）（x₂+2）＜0，
即x₁x₂+2（x₁+x₂）+4＜0，∴m²-2m-8＜0，
解得-2＜m＜4，…（9分）
∴S=$\frac{1}{2}$•|PQ|•|x₁-x₂|
=$\frac{1}{2}$•|PQ|•$\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$
=3$\sqrt{48-3{m^2}}$，
∴當(dāng)m=0時，S最大值為$12\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查四邊形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．