考點(diǎn):導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:令
,
,分別化為y=x+2,y=3lnx-x
2.因此求出(a-b)
2+(a+2+b
2-3lnb)
2的最小值等價于求出直線y=x+2與曲線y=3lnx-x
2之間的距離的平方的最小值.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其點(diǎn)到直線的距離公式即可得出.
解答:
解:令
,
,
分別化為y=x+2,y=3lnx-x
2.
因此求出(a-b)
2+(a+2+b
2-3lnb)
2的最小值等價于求出直線y=x+2與曲線y=3lnx-x
2之間的距離的平方的最小值.
設(shè)與直線y=x+2平行且與曲線y=3lnx-x
2相切于點(diǎn)P(x
0,y
0).
則
y′=-2x|x=x0=1,解得x
0=1,
∴切點(diǎn)P(1,-1).
點(diǎn)P到直線y=x+2的距離d=
=
2,
∴(a-b)
2+(a+2+b
2-3lnb)
2的最小值為
(2)2=8.
故答案為:8.
點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了問題等價轉(zhuǎn)化方法,考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.