Question

8．如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長(zhǎng)CB至Q，延長(zhǎng)QA至P，使得QA成為QC，QB的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求證：QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）若AC恰好為∠BAP的平分線，AB=4，AC=6，求QA的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，進(jìn)而∠QAB=QCA，根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）根據(jù)弦切角定理可得AC=BC=6，結(jié)合（I）中結(jié)論，可得QC：QA=AC：AB=6：4，進(jìn)而得到答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵QA成為QC，QB的等比中項(xiàng)，
∴QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA∽△QAB，
∴∠QAB=QCA，
根據(jù)弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線，（5分）
（Ⅱ）解：∵QA為⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好為∠BAP的平分線，
∴∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=6，
∴QC²-QA²=6QC，①
又由△QCA∽△QAB得
QC：QA=AC：AB=3：2，②
聯(lián)合①②消掉QC，得QA=7.2．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是弦切角定理及其逆定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，難度中檔．