Question

8．如圖，△ABC的外接圓為⊙O，延長CB至Q，延長QA至P，使得QA成為QC，QB的等比中項．
（Ⅰ）求證：QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）若AC恰好為∠BAP的平分線，AB=4，AC=6，求QA的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，進而∠QAB=QCA，根據弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線；
（Ⅱ）根據弦切角定理可得AC=BC=6，結合（I）中結論，可得QC：QA=AC：AB=6：4，進而得到答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵QA成為QC，QB的等比中項，
∴QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA∽△QAB，
∴∠QAB=QCA，
根據弦切角定理的逆定理可得QA為⊙O的切線，（5分）
（Ⅱ）解：∵QA為⊙O的切線，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好為∠BAP的平分線，
∴∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=6，
∴QC²-QA²=6QC，①
又由△QCA∽△QAB得
QC：QA=AC：AB=3：2，②
聯合①②消掉QC，得QA=7.2．（10分）

點評 本題考查的知識點是弦切角定理及其逆定理，圓的切線的判定與性質，三角形相似的判定與性質，難度中檔．