7．已知如圖所示的三棱錐D-ABC的四個頂點均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=CD=BD=2$\sqrt{3}$，則球O的表面積為16π．

分析 證明AC⊥AB，可得△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{3}$，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）2，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：∵AB=3，AC=$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB2+AC2=BC2，
∴AC⊥AB，
∴△ABC的外接圓的半徑為$\sqrt{3}$，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC邊的高上，
設球心到平面ABC的距離為h，則h2+3=R2=（$\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{3}$-h）2，
∴h=1，R=2，
∴球O的表面積為4πR2=16π．
故答案為：16π．

點評 本題考查球O的表面積，考查學生的計算能力，確定球的半徑是關鍵．

練習冊系列答案
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1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為4，左右兩個焦點分別為F1、F2，過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交于P、Q兩點，若△F1PQ的面積為$\sqrt{3}$，且|F1F2|＞2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，N為橢圓C上一點，若動點M滿足$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{AB}$+2a=m，且|MN|=|MB|（m∈R），試求動點M的軌跡方程．

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2．若點P（3，4）在角θ的終邊上，則cosθ等于（　　）
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12．已知$f（x）=（{x^3}-mx）ln（{x^2}+1-m）_{\;}^{\;}（m∈R）$，方程f（x）=0有3個不同的根．
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（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得f（x）在（0，1）上恰有兩個極值點x1，x2且滿足x2=2x1，若存在，求實數(shù)m的值；若不存在，說明理由．

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