Question

已知g（x）=-x²-3，f（x）=ax²+bx+c（a≠0），函數(shù)h（x）=g（x）+f（x）是奇函數(shù)．
（1）求a，c的值；
（2）當x∈[-1，2]時，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）法一：化簡h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3，由（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3對x∈R恒成立得到

a-1=-a+1 c-3=-c+3

，從而求解，
法二：化簡h（x）=g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3，由奇函數(shù)可得a-1=0，c-3=0，從而求解；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論對稱軸所在的位置，從而確定f（x）的最小值在何時取得，從而求f（x）的解析式．

解答： 解：（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）為奇函數(shù)，
∴h（x）=-h（-x），
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3對x∈R恒成立，
∴

a-1=-a+1 c-3=-c+3

，
解得

a=1 c=3

；
（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵h（x）為奇函數(shù)，
∴a-1=0，c-3=0，
∴a=1，c=3．
（2）f（x）=x²+bx+3，其圖象對稱軸為x=-

b

2

，
當-

b

2

≤-1，即b≥2時，
f（x）_min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；
當-1＜-

b

2

≤2，即-4≤b＜2時，
f(x)min=f(-

b

2

)=

b2

4

-

b2

2

+3=1，
解得b=-2

2

或b=2

2

（舍）；
當-

b

2

＞2，即b＜-4時，
f（x）_min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），
∴f（x）=x²+3x+3或∴f(x)=x2-2

2

x+3．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用與及二次函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題．