Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求出{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=2log₄（a_n+1）²，證明：對一切正整數(shù)n，有

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

＜

1

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a_n+1=3a_n-2a_n-1得a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），變形后可得{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁為首項，2為公比的等比數(shù)列，然后利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把{a_n}的通項公式代入b_n=2log₄（a_n+1）² ，整理后利用裂項相消法求

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

的和，放縮后得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1，
∴a_n+1-a_n=2（a_n-a_n-1），
∵a₁=1，a₂=3，
∴

an+1-an

an-an-1

=2（n∈N^*，n≥2），
∴{a_n+1-a_n}是以a₂-a₁為首項，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2+1=

1×(1-2n)

1-2

=2n-1．
（Ⅱ）b_n=2log₄（a_n+1）² =2log4(2n-1+1)2=2log422n=2n．
∴

1

bn2-1

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
則

1

b 2 1 -1

+

1

b 2 2 -1

+…+

1

b 2 n -1

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)

1

2

(1-

1

2n-1

)＜

1

2

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．