Question

對(duì)任意的x∈R，e^x≥ax+x+1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-ax-x-1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為a-aln（a+1）-ln（a+1），把對(duì)任意的x∈R，
e^x≥ax+x+1恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）的最小值恒大于等于0，進(jìn)一步構(gòu)造函數(shù)g（t）=t-tln（t+1）-ln（t+1）（t＞-1），再利用導(dǎo)數(shù)求得該函數(shù)的最大值為0，則說(shuō)明只有當(dāng)t=0，即a=0時(shí)，對(duì)任意的x∈R，
e^x≥ax+x+1恒成立．

解答： 解：令f（x）=e^x-ax-x-1，
得f′（x）=e^x-a-1，令f′（x）=0，得x=ln（a+1），
當(dāng)x＜ln（a+1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞ln（a+1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
故當(dāng)x=ln（a+1）時(shí)，f（x）取最小值為：
f（ln（a+1））=e^ln（a+1）-aln（a+1）-ln（a+1）-1=a-aln（a+1）-ln（a+1）．
于是對(duì)一切x∈R，e^x≥ax+x+1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a-aln（a+1）-ln（a+1）≥0．
令g（t）=t-tln（t+1）-ln（t+1）（t＞-1），
則g′(t)=1-ln(t+1)-

t

t+1

-

1

t+1

=-ln（t+1），
當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；
當(dāng)t＞0時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減．
故當(dāng)t=0時(shí)，g（t）取最大值g（0）=0．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，a-aln（a+1）-ln（a+1）≥0成立．
綜上所述，a的取值集合為{0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中高檔題．