Question

9．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（2a-c）cosB=bcosC，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-3．
（I）求△ABC的面積；
（II）若sinA：sinC=3：2，求AC邊上的中線BD的長．

Answer 1

分析 （I）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)，利用平面向量數(shù)量積的運算可求ac的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．
（II）由正弦定理化簡可得a=$\frac{3c}{2}$，結(jié)合ac=6，可求a，c的值，由于$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），平方后利用平面向量的運算即可解得AC邊上的中線BD的長．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）已知等式（2a-c）cosB=bcosC，
利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
則B=60°．
又∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-3．
∴accos（π-B）=-3，
∴解得ac=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…6分
（II）∵由sinA：sinC=3：2，可得：a：c=3：2，解得：a=$\frac{3c}{2}$，
又∵由（I）可得：ac=6，
∴解得：a=3，c=2，
又∵$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
∴4$\overrightarrow{BD}$²=$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=c²+a²-2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=2²+3²-2×（-3）=19，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，即AC邊上的中線BD的長為$\frac{\sqrt{19}}{2}$…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式變形，平面向量數(shù)量積的運算，三角形面積公式，平面向量的運算在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．