7.在平面上$\overrightarrow{A{B_1}}$⊥$\overrightarrow{A{B_2}}$,|$\overrightarrow{O{B_1}}$|=|$\overrightarrow{O{B_2}}$|=1,$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{A{B_1}}$+$\overrightarrow{A{B_2}}$,|$\overrightarrow{OP}$|<$\frac{1}{3}$,則|$\overrightarrow{OA}$|的取值范圍(  )
A.$(0,\frac{{\sqrt{10}}}{3}]$B.$(\frac{{\sqrt{10}}}{3},\frac{{\sqrt{17}}}{3}]$C.$(\frac{{\sqrt{10}}}{3},\sqrt{2}]$D.$(\frac{{\sqrt{17}}}{3},\sqrt{2}]$

分析 根據(jù)題意知,A、B1、P、B2 構(gòu)成一個(gè)矩形,以AB1、AB2 所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系;利用不等式綜合知識(shí)點(diǎn)來求出|OA|的范圍.

解答 解:根據(jù)題意知,A、B1、P、B2 構(gòu)成一個(gè)矩形,以AB1、AB2 所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,如圖所示:
設(shè)|AB1|=a,|AB2|=b,點(diǎn)O的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b);
由|$\overrightarrow{O{B}_{1}}$|=|$\overrightarrow{O{B}_{2}}$|=1,得$\left\{\begin{array}{l}{(x-a)^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+(y-b)^{2}=1}\end{array}\right.$,則$\left\{\begin{array}{l}{(x-a)^{2}=1-{y}^{2}}\\{(y-b)^{2}=1-{x}^{2}}\end{array}\right.$
∵|$\overrightarrow{OP}$|<$\frac{1}{3}$,∴$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<\frac{1}{9}$,
∴1-y2+1-x2<$\frac{1}{9}$;
∴${x}^{2}+{y}^{2}>\frac{17}{9}$;①
又∵(x-a)2+y2=1;
∴y2=1-(x-a)2≤1;
∴y2≤1;
同理x2≤1;
∴x2+y2≤2  ②,
由①②知$\frac{17}{9}<{x}^{2}+{y}^{2}≤2$;
∵|$\overrightarrow{OA}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$;
∴$\frac{\sqrt{17}}{3}<|\overrightarrow{OA}|≤\sqrt{2}$.
故選:D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造直角坐標(biāo)系,平面向量的基本應(yīng)用,以及不等式綜合知識(shí)點(diǎn),屬中等偏上題.

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