Question

17．在△ABC中，角A，B的對邊分別為a，b，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA）．
（1）若acosA=bcosB，求證：$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，a＞b，求$tan\frac{A-B}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知條件，然后推出結果即可．
（2）利用向量的垂直，推出關系式，結合三角形的性質(zhì)，求出A-B，然后求解即可．

解答 證明：（1）因為acosA=bcosB，
所以sinAcosA=sinBcosB，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA）．
所以m∥n．…（7分）
（2）因為$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，所以cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A-B）=0，
因為a＞b，所以A＞B，又A，B∈（0，π），所以A-B∈（0，π），則$A-B=\frac{π}{2}$，…（12分）
所以$tan\frac{A-B}{2}=tan\frac{π}{4}=1$．…（14分）

點評 本題考查正弦定理的應用，向量的平行于垂直條件的應用，考查分析問題解決問題的能力．